【初一数学】新初一数学上册必考知识汇总


  第一章 有理数

  知识点一 有理数的分类

  

 

  有理数的另一种分类

  

 

  想一想:零是整数吗?自然数一定是整数吗?自然数一定是正整数吗?整数一定是自然数吗?

  零是整数;自然数一定是整数;自然数不一定是正整数,因为零也是自然数;整数不一定是自然数,因为负整数不是自然数。

  知识点二 数轴

  1.填空

  ① 规定了唯一的原点,正方向和单位长度 (三要素)的直线叫做数轴。

  ② 比-3大的负整数是-2、-1。

  ③与原点的距离为三个单位的点有2个,他们分别表示的有理数是3、-3。

  2.请画一个数轴,并检查它是否具备数轴三要素?

  3.选择题

  ① 在数轴上,原点及原点左边所表示的数是( )

  A整数 B负数 C非负数 D非正数

  ②下列语句中正确的是( )

  A数轴上的点只能表示整数

  B数轴上的点只能表示分数

  C数轴上的点只能表示有理数

  D所有有理数都可以用数轴上的点表示出来

  答案 AD

  知识点三 相反数

  相反数:只有符号不同的两个数互为相反数,0的相反数是0。在数轴上位于原点两侧且离原点距离相等。

  知识点四 绝对值

  1.绝对值的几何意义:一个数所对应的点离原点的距离叫做该数的绝对值。

  2.绝对值的代数定义:(1)一个正数的绝对值是它本身;(2)一个负数数的绝对值是它的相反数;(3)0的绝对值是0;(4)|a|大于或者等于0。

  3.比较两个数的大小关系

  数学中规定:在数轴上表示有理数,它们从左到右的顺序,就是从大到小的顺序,即左边的数小于右边的数。由此可知:(1)正数大于0,0大于负数,正数大于负数;(2)两个负数,绝对值大的反而小。

  知识点五 有理数加减法

  1.同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加。

  绝对值不相等的异号两数相加, 取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

  2.互为相反数的两个数相加得0。

  3.一个数同0相加,仍得这个数。

  4.减去一个数,等于加上这个数的相反数。

  知识点六 乘除法法则

  1.两数相乘,同号得 正 ,异号得 负 ,并把绝对值 相乘 。 0乘以任何数,都得 0 。

  2.几个不为0的数相乘,积的符号由负因数的个数确定,负因数的个数为 偶数 时,积为正;负因数的个数为 奇数 时,积为负。

  3.两数相除,同号得 正 ,异号得 负 ,并把绝对值 相除 。0除以任何一个不等于0的数,都得 0 。

  4.有理数中仍然有:乘积是1的两个数互为 倒数 。

  5.除以一个不等于0的数等于乘以这个数的 倒数 。

  知识点七 乘方

  乘方定义:求n个相同因数的积的运算,叫做乘方。

  中,底数是a,指数是n,幂是乘方的结果;读作:的n次方 或 的n次幂。

  负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是0。

  知识点八 运算律及混合运算

  1.加法交换律:a+b=b+a

  1.加法交换律:a+b=b+a

  2.乘法交换律:a·b=b·a

  3.加法结合律:a+(b+c)=(a+b)+c

  4.乘法结合律:a·(b·c)=(a·b)·c

  5.乘法分配律:a·(b+c)=ab+ac

  6.有理数混合运算顺序:先乘方;再乘除;最后算加减。

  7.有括号,先算括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行 。

  8.同级运算, 从左到右进行 。

  知识点九 近似数

  1.近似数:在一定程度上反映被考察量的大小,能说明实际问题的意义,与准确数非常地接近,像这样的数我们称它为近似数。

  2.近似数的分类

  (1)具体近似数(如30.2、58.0 …)

  (2)带单位近似数(如2.4万…)

  (3)科学记数法

  3.精确度:用位数较少的近似数替代位数较多或位数无限的数,有一个近似程度的问题,这个近似程度就是精确度。四舍五入到哪一位,就说精确到哪一位(看精确度得到原数中去看在哪一位上,如:2.4万精确到千位,而非十分位,因为2.4万就是24000,4在千位上)。

  4.有效数字:对于一个不为0的近似数,从左边第一个不为0的数字起,到末尾数止,所有数字都是这个近似数的有效数字。

  求近似数要求保留n个有效数字时,第n+1个有效数字作四舍五入处理。

  例:0.0109有三个有效数字1、0、9,要求保留2个有效数字时,0.0109的第三个有效数字9四舍五入,变为0.0110,保留两个有效数字1、1后求出近似数0.0109≈0.011。

  第二章 整式的加减

  知识点一 整式的相关概念

  代数式中的一种有理式:不含除法运算或分数,以及虽有除法运算及分数,但除式或分母中不含变数者,则称为整式。 (分母中含有字母有除法运算的,那么式子叫做分式)

  1.单项式:数或字母的积(如5n),单个的数或字母也是单项式。

  (1)单项式的系数:单项式中的数字因数及性质符号叫做单项式的系数。( 如果一个单项式,只含有数字因数,系数是它本身,次数是0)。

  (2)单项式的次数:一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数(非零常数的次数为0)。

  2.多项式

  (1)概念:几个单项式的和叫做多项式。在多项式中,每个单项式叫做多项式的项,其中不含字母的项叫做常数项。一个多项式有几项就叫做几项式。

  (2)多项式的次数:多项式中,次数最高的项的次数,就是这个多项式的次数。

  (3)多项式的排列:

  把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列;把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母升幂排列。

  在做多项式的排列的题时注意:

  (1)由于单项式的项包括它前面的性质符号,因此在排列时,仍需把每一项的性质符

  看作是这一项的一部分,一起移动。

  (2)有两个或两个以上字母的多项式,排列时,要注意:a.先确认按照哪个字母的指数来排列。

  b.确定按这个字母降幂排列,还是升幂排列。

  3.整式: 单项式和多项式统称为整式。

  4.列代数式的几个注意事项

  (1)数与字母相乘,或字母与字母相乘通常使用“· ” 乘,或省略不写;

  (2)数与数相乘,仍应使用“×”乘,不用“· ”乘,也不能省略乘号;

  (3)数与字母相乘时,一般在结果中把数写在字母前面,如a×5应写成5a;

  (4)带分数与字母相乘时,要把带分数改成假分数形式;

  (5)在代数式中出现除法运算时,一般用分数线将被除式和除式联系,如3÷a写成3/a的形式;

  (6)a与b的差写作a-b,要注意字母顺序;若只说两数的差,当分别设两数为a、b时,则应分类,写做a-b和b-a .

  知识点二 整式的加减运算

  1.同类项的概念:所含字母相同,并且相同字母的次数也相同的项叫做同类项,几个常数项也是同类项。(同类项与系数无关,与字母排列的顺序也无关)。

  2.合并同类项:把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。法则:同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变。不能合并的项单独作为一项,不可遗漏

  3.整式加减实质就是去括号,合并同类项。

  注:去括号时,如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同;如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。一般地,几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项。

  4.几个重要的代数式:(m、n表示整数)

  (1)a与b的平方差是: a2-b2 ; a与b差的平方是:(a-b)2 ;(本式中2为平方)

  (2)若a、b、c是正整数,则两位整数是: 10a+b ,则三位整数是:100a+10b+c;

  (3)若m、n是整数,则被5除商m余n的数是: 5m+n ;偶数是:2n ,奇数是:2n+1;三个连续整数是: n-1、n、n+1;

  (4)若b>0,则正数是:a2+b ,负数是: -a2-b ,非负数是: a2 ,非正数是:-a2 (本式中2为平方)

  第三章 一元一次方程

  知识点一 方程的相关概念

  等式:表示相等关系的式子。

  方程:含有未知数的等式。(方程一定是等式,但等式不一定是方程)。

  方程的解:使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。

  解方程:求出使方程左右两边都相等的未知数的值的过程叫做解方程。

  一元一次方程:只含一个未知数,未知数的次数是1,并且等式两边都是整式的方程。

  同解方程:两方程的解相同。

  知识点二 等式的性质

  等式的性质1:等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等。

  即:如果a=b,那么a±c=b±c。

  等式的性质2:等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等。

  即:如果a=b,那么ac=bc;如果a=b(c≠0),那么a/c=b/c。

  知识点三 解一元一次方程

  1.一般解法:

  ⅰ 去分母:两边同乘以各分母的最小公倍数;

  ⅱ 去括号;

  ⅲ 移项:移项要变号;

  ⅳ 合并同类项:把方程化成ax=b(a≠0)的形式;

  ⅴ 系数化为1:两边同除以未知数的系数, 得到方程的解x=b/a。

  2.一元一次方程的应用(重点难点)

  列方程解应用题的关键是:仔细审题,找出能正确表达题目整体数量关系的一个相等关系,再设未知数,并将这个相等关系用含未知数的式子表示出来。

  3.几种常见问题

  a.和差倍分问题:这类问题主要是正确理解是几倍“增加了几倍”“增加到几倍”“多少”“大小”“不足“剩余”等关键词语的意义。

  b.行程相遇问题:三个基本量的关系 路程=速度×时间

  (1)两人在圆形跑道上同时同地背向而行求首次相遇时间:甲的路程+乙的路程=一圈的长度(直线路上两人面对面行走首次相遇的时间求法与之相同);

  (2)两人在圆形跑道上同时同地同向而行求首次相遇时间:快人的路程-慢人的路程=一圈的长度。

  c.工程任务问题:三个基本量的关系:工作量=工作效率×工作时间

  一般情况下,把全部工作量看做1(即100%),工作效率=1/工作时间(各个量一定要对应,自己的效率乘以自己的时间等于自己的工作量)。合作效率=各个人的效率之和。

  d.利润问题:利润=售价-成本=成本×利润率;利润率=利润÷成本;实际售价=标价×折扣率。

  e.分配问题:例:某车间有22名工人加工生产一种螺栓和螺母,每人每天平均生产螺栓120个或螺母200个,一个螺栓要配两个螺母(建立等量关系的依据),应该分配多少名工人生产螺栓,多少名工人生产螺母,才能使每天生产的产品刚好配套?

  f.水上航行问题:顺水速度=静水速度+水流速度;逆水速度=静水速度-水流速度。

  应用举例

  1.一本书,小明第一天读了十分之一,第二天读了10页,已读的是未读的1/4,请问这本书一共有多少页?

  等量关系:已读的+未读的=总页数(或已读的=总页数-未读的,未读的=总页数-已读的)。

  2.某服装七月份下降了10%,八月份上升了10%,则八月份价格与原价比( )

  A.不变 B.增加1%

  C.减少9% D.减少1%

  注意:不要误以为不变,百分数的基数不一样会变化,7月份是在原价基础上下降10%,8月份是在7月份基础上上升10%而不再是在原价基础上上升。

  3.甲乙两人在400米的圆形跑道上跑步,甲每秒跑9米,乙每秒跑7米。

  (1)当两人同时同地背向而行时,经过多少秒后两人首次相遇?

  (2)当两人同时同地同向而行时,经过多少秒后两人首次相遇?

  分析(1):设经过x秒首次相遇。两人加起来跑完一圈即400米时首次相遇,所以等量关系式是:甲的路程+乙的路程=一圈的长度400米 甲的路程=甲的速度×时间x 乙的路程=乙的速度×时间x 得到方程:9x+7x=400

  (2)设经过x秒首次相遇。同向首次相遇,即快的人多跑一圈与慢的人相遇, 所以等量关系式是:快人的路程-慢人的路程=一圈的长度400米,在这即是甲的路程-乙的路程=400。

  4.一项任务,甲独做需x天,乙独做需y天,若两人合作需________天

  分析:合作时间=工作量/合作效率 工作量=1 合作效率=甲的效率+乙的效率

  甲的效率=工作量/甲的时间=1/x 乙的效率=工作量/乙的时间=1/y

  ∴合作时间=1/(1/x+1/y)

  5.某种商品每件的进价为250元,按标价的9折销售时,利润率为15.2%,这种商品每件标价多少元?

  分析:设标价x元,等量关系:利润(求)÷成本(已知250元)= 利润率(已知15.2%)

  利润=实际售价(标价的9折即90%x)-成本250

  ∴(90%x-250) /250=15.2%

  第四章 图形认识初步

  知识点一:几何图形

  1.我们把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形。

  2.有些几何图形的各部分不都在同一平面内,它们是立体图形。如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等。

  3.有些几何图形的各部分都在同一平面内,它们是平面图形。如线段、角、三角形、长方形、圆等。

  4.立体图形与平面图形虽然是两类不同的几何图形,但是立体图形中某些部分是平面图形,对于一些立体图形的问题,常把它们转化为平面图形来研究和处理。有些立体图形是由一些平面图形围成的,将它们的表面适当剪开,可以展开成平面图形,这样的平面图形成为相应立体图形的展开图。

  知识点二 点、线、面、体

  1.立体图形是几何体,简称体;包围着体的是面,面有平面和曲面;面和面相交的地方形成线,线有直线和曲线;线和线相交的地方是点。

  2.几何图形都是由点、线、面、体组成,点是构成图形的基本元素。

  知识点三 直线、射线、线段

  1.线段:直线上两个点和它们之间的部分叫线段,这两个点叫线段的端点。

  射线:将线段向一个方向无限延长就形成了射线。

  直线:将线段向两个方向无限延长就形成了直线。

  2.点与直线的位置关系

  点p在直线a上(或说直线a经过点p);

  点p不在直线a上(或说直线a不经过点p) 。

  过一点可画无数条直线,过两点有且仅有一条直线。简述为:两点确定一条直线。

  3.线段的中点:把一线段分成两相等线段的点。

  两点的所有连线中,线段最短,简述为:两点之间,线段最短。

  两点间的距离:连接两点间的线段的长度。

  线段的长短比较:⑴度量法;⑵叠合法

  知识点四 角

  角:由两条具有公共端点引出射线组成的图形(也可看做是由一射线绕端点旋转而成)。

  角的表示:三个大写字母;一个大写字母(不混淆情况下方可使用);一个数字;一个希腊字母。

  角的要素:顶点和边,角的大小与边的长短无关。

  角的单位:度,分,秒

  ①1°的60分之一为1分,记作1′,即1°=60′

  ②1′的60分之一为1秒,记作1″,即1′=60″

  角的大小比较:⑴度量法;⑵叠合法。

  角平分线:从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个等角,这条射线叫角平分线。

  余角和补角:如果两个角的和等于90°(直角),就说这两个角互为余角;如果两个角的和等于180°(平角),就说这两个角互为补角。

  性质:等角的补角相等;等角的余角相等。

  题型一:作图题

  例1 已知:线段m、n。(如图)

  

 

  求作:线段AC,使AC = m - n。

  作法:(1)作射线AM;

  (2)在射线AM上截取AB = m。

  (3)在线段AB上截取BC = n。

  

 

  则线段AC就是所求作的线段。

  题型二:线段的分类考虑

  例2 已知线段AB=8cm,在直线AB上画线段BC,使它等于3cm,求线段AC的长。

  解:本题分两种情况:

  

 

  如图4—4—9所示,当点C在线段AB的延长线上时,

  AC=AB+BC=8+3=11(crn);

  如图4—4—10所示,当点C在线段AB上时,

  AC=AB-BC=8—3=5(cm).

  所以线段AC的长为11 cm或5cm。

  例3 经过任意三点中的两点共可以画出的直线条数是( )

  A.1或3 B.3 C.2 D.1

  解析:这道题要分两种情况考虑:一是这三点都在一条直线上时,就只能画出一条直线;二是这三点不在同一条直线上时,此时共可以画出三条直线. 答案:A

  题型三: 两角互补、互余定义及其性质的应用

  例4 一个角的补角是这个角的4倍,求这个角的度数

  解:设这个角是x°,则它的补角是(180-x)°。

  由题意,得180-x=4 x,解得x=36.所以这个角是36°。

  点拨 本题主要考查补角定义的应用,数学中利用方程、转化思想,可将“形”的问题转化为“数”的问题研究,从而简捷解决问题。

  例5 如果一个角的补角是120°,那么这个角的余角是( )

  A.30° B.60° C.90° D.150°

  解析:本题是对余角、补角的综合考查,先根据这个角的补角是120°,求出这个角是60°,再求出它的余角是30°。 答案:A

  例6 根据补角的定义和余角的定义可知,10°的角的补角是170°,余角是80°;15°的角的补角是165°,余角是75°;32°的角的补角是148°,余角是58°.…. 观察以上各组数据,你能得出怎样的结论?请用任意角α代替题中的10°、15°、32°的角来说明你的结论。

  解:结论为:一个角的补角比这个角的余角大90°。

  说明:设任意角是α(0<α<90°),α的补角是180°-α,α的余角是90°-α,

  则 (180°-α)-(90°-α)=90°。

  题型四 角的有关运算

  例7 如图4—4—3所示,AB和CD都是直线,∠AOE=90°,∠3°=∠FOD,∠1=27°20′,求∠2、∠3的度数。

  

 

  解:因为∠AOE=90°,

  所以∠2=90°-∠1=90°-27°20′=62°40′.

  又因为∠AOD=180°-∠1=152°40′,∠3=∠FOD,

  所以∠3=∠AOD=76°20′.

  所以上2=62°40′,∠3=76°20′.

  例8 如图4—4—4所示,OB、OC是∠AOD内任意两条射线,OM平分∠AOB,ON平分∠COD,若∠MON=α,∠BOC=β,用α、β表示∠AOD。

  

 

  解:因为∠MON=α,∠BOC=β,

  所以∠BOM+∠CON=∠MON-∠BOC=α-β

  又OM平分∠AOB,ON平分∠COD,

  所以∠AOB+∠COD=2∠BOM+2∠CON=2(∠BOM+∠CON)=2(α-β),

  所以∠AOD=∠AOB+∠COD+∠BOC=2(α-β)+β=2α-β.

  例9 (1)用度、分、秒表示54.12°

  (2)32°44′24″等于多少度?

  (3)计算:133°22′43″÷3

  解:(1)因为0.12°=60′×0.12=7.2′,0.2′=60″×0.2=12″,

  所以54.12°=54°7′12″.

  (2)因为24″=()′×24=0.4′,44.4′=()°×44.4=0.74°,

  所以32°44′24″=32.74°.

  (3)133°22′43″÷3=(132°+82′)÷3+43″÷3=44°+82′÷3+43″÷3

  =44°+(81′+1′)÷3+43″÷3=44°+27′+1′÷3+43″÷3

  =44°+27′+103″÷3≈44°+27′+3″=44°27′3″。

  题型五 钟表的时针与分针夹角问题

  例10 15:25时钟面上时针和分针所构成的角是__度

  

 

  解析:起始时刻定为15:00(下午3点整时,时针和分针构成的角是90°),终止时刻为15:25,从图4—4—5中可以看出分针从12转到5用了25分钟,转了6°×25=150°,时针转了0.5°×25=12.5°,所以15:25时钟面时针和分针所构成的角为150°-90°- 12.5°=47.5°

  答案:47.5

  例11 从3时到6时,钟表的时针旋转角的度数是( )

  A.30° B.60° C.90° D.120°

  考点突破:此类题是近几年中考中的热点问题,考查形式为选择题或填空题.解决此类问题需明确:在钟表上,1分钟分针走6°,1小时时针走30°。

  题型六:方位角

  例12 如图4—4—24所示,一只蚂蚁从O点出发,沿北偏东30°方向爬行2.5 cm,碰到障碍物B后,又沿西北方向爬行3 cm到达C处。

  

 

  (1)画出蚂蚁爬行的路线;

  (2)求∠OBC的度数;

  (3)测出线段OC的长度(精确到0.1 cm).

  解:(1)蚂蚁爬行的路线如图4—4—25所示

  

 

  (2)因为蚂蚁从O点出发沿北偏东30°方向爬行2.5 cm到达B处,即∠OBD=30°,则∠ABO=60°.

  又因为蚂蚁到达B处后又沿西北方向爬行了3 cm,即∠ABC=45°.

  所以∠OBC=∠ABO+∠ABC=60°+45°=105°.

  (3)用刻度尺测量OC的长约为4.4 cm.

  题型七 折叠问题

  例12 如图,长方形纸片ABCD,点E、F分别在边AB、CD上,连接EF.将∠BEF对折,点B落在直线EF上的点B'处,得折痕EM;将∠AEF对折,点A落在直线EF上的点A'处,得折痕EN,求∠NEM的度数.

  

 

  解:EN平分∠AEA‘,所以 ∠AEN=∠A’EN

  同理,EM平分∠BEB‘,所以 ∠BEM=∠B’EM

  因为:∠AEN+∠A’EN+∠BEM+∠B’EM=180度

  所以:∠A’EN+∠B’EM=90度

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