谈一点新高一数学的衔接问题


  很多新高一的同学,暑假里都顶着高温忙着“衔接”,毕竟江湖传言,高中数学无论是学习方法还是知识难度都有了很大的改变,都想趁着暑假来全方位提升自己,继续践行着具有中国特色的“不输在起跑线”的教学怪论,希望把高中第一步迈得更稳当更扎实一点。但是到底该衔接些什么内容,如何进行衔接,才可以达到事半功倍呢?
  
  1
  
  衔接≠上新课、复习旧课、竞赛培训课
  
  从知识完整性和结构性的角度看,做好初高中衔接在某种意义上还是必要的,但首先要分清楚到底什么是衔接,衔接的内容是哪些知识?所谓衔接,百度上说是指用某个物体连接两个分开的物体,把它们首尾连接。这里要讲的初高中“衔接”是指初中旧知识与高中新知识存在着某种数学联系(或知识架构上的,或认知方式上的,或思维层面上的等),通过数学载体将其联系成一个整体进行学习。具体讲就是在原来初中学习的基础上进行适度拓展提高,为进入高中学习数学做好知识准备和心理调整。
  
  当前,在初高中数学衔接中普遍存在三个误区:
  
  误区1:衔接课程讲授大量的高一新知识,衔接课变成了新授课;
  
  误区2:衔接课程仅仅是巩固初中知识,衔接课变成了复习课;
  
  误区3:衔接课程讲授大量的初中竞赛内容,衔接课变成了竞赛培训课。
  
  很明显,这些“课”并不是衔接课程。
  
  要做好“衔接”我们要充分认识到高中数学和初中数学有很大不同,主要体现在:
  
  一是数学语言在抽象程度上突变:刚进入高中的学生都反映集合、函数等概念难以理解,似乎很“玄乎”,学生需要在自然语言、数学语言之间进行痛并快乐着的表征游戏;
  
  二是思维方法向理性层次上跃迁:数学语言的抽象化对思维能力提出了更高的要求,抽象概括、逻辑推理等要求比起初中简直就是飞机起飞的感觉;
  
  三是知识内容的整体数量剧增,加之时间紧、难度大,这样不可避免地造成同学不能适应高中数学学习,而影响成绩的提高。
  
  从这个角度看,说明高中与初中在多个方面上都有“脱节”之处,只有对症下药才能“接”好!
  
  2
  
  初高中数学知识上的“脱节”盘点
  
  初中有些“删去的内容”却在高中有一定的“地位”,是哪些内容呢?

模块

删去的内容

常用乘法公式与

因式分解方法

立方和(差)公式、两数和(差)立方公式、三个数的和的平方公式的推导及应用(正用和逆用)。十字相乘法、分组分解法、添项、拆项不作要求,而且每项指数是正整数。高次多项式分解(竖式除法)

分类讨论

删去含字母的绝对值,分段解题与参数讨论方法,含字母的一元一次不等式

二次根式

二次根式、最简二次根式、同类根式的概念与运用,根式的化简与运算

代数式运算

与变形

删去分子(母)有理化,多项式的除法(竖式除法),分式乘方

方程与方程组

简单的无理方程,可化为一元二次方程的分式方程,含绝对值的方程,含有字母的方程,三元一次方程组,二元二次方程组,一元二次方程根的判别式与韦达定理。

三个“二次”

不要求掌握二次函数图象顶点和对称轴公式的记忆和推导、用根的判别式研究函数的图象与性质、利用数形结合解决简单的一元二次不等式(已知三点用待定系数法求抛物线解析式也属超纲内容)

平行与相似

删除平行的传递性,平行线等分线段定理,梯形中位线概念及性质,合比定理,等比定理,有关简单的相似命题的证明,截三角形两边或延长线的直线平行于第三边的判定定理

证明

删除了大量繁难的几何证明题

图形

删除射影的概念和直角三角形中的射影定理,正多边形中有关边长、边心距等计算公式,简单的等积变换,三角形“四心”的有关概念和性质,中点公式,内外角平分线定理,平行四边形的对角线和边长间的关系

 

与圆的有关定理:弦切角定理……

有些内容削弱了,但高中学习时却要求颇高,主要有:

知识点

删去的内容

有理数混合运算不超过三步,二次根式运算不要求分母有理化,笔算、口算、心算能力减弱,减弱算术平方根的性质。

因式分解只要求提取公因式法、公式法(平方差、完全平方),直接用公式法不超过两次,多项式相乘仅要求一次式间的相乘,无除法,要求了解二次根式的概念,理解其加、减、乘、除运算法则,没有最简二次根式的概念,根式化简较为简单,二次根式运算不要求分母有理化,不再出现一次式这一概念,根式的运算要求低;绝对值符号内不能含有字母。

一元一次

不等式

一元一次不等式组限2个不等式,对不等式的整数解没有明确要求。

三个“二次”

配方法要求低,只在解一元二次方程中有简单的要求,在二次函数中也不要求用配方法求顶点、最值,只要求用公式求,且又不要求记忆公式和推导,没有用根的判别式研究函数性质。

证明

削弱了以演绎推理为主要形式的定理证明,减少定理的数量——用4条“基本事实”(两直线平行,同位角相等;同位角相等,两直线平行;全等三角形对应边对应角相等;两边及夹角分别相等的三角形全等)证明40条左右的结论,淡化几何证明的技巧;反证法,初中只要求通过实例,体会反证法的含义,了解即可;降低了论证过程形式化的要求和证明的难度。辅助线,中考只要求添加一条辅助线。

其它

弱化概念,对有关术语如总体、个体、样本等概念不要求严格表述。

 
  
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  初高中需要衔接的内容
  
  数与式部分
  
  (1)代数式的恒等变形
  
  (整式乘法、因式分解[主元思想和试根法]、根式、分式、绝对值、比例的性质)
  
  在高中学习一些代数推理时“恒等变形”真的很重要,不信看看今年江苏高考的第20题官方标准答案,其中有富含大量的恒等变形,若在平时重视“变形”,此题还是有可能突破的。 下面的一组公式予以关注:
  
  函数与方程、不等式部分
  
  (2) 一次函数的增减性和保号性
  
  (3)韦达定理
  
  这在高中部分的解析几何中几乎是绕不开的话题,但部分同学在运算韦达定理时的基本步骤不是很清楚,先确保有根再论根与系数,这在2017届苏锡常镇一模的解析几何题中有这样的答题步骤,有些考生当时就因此丢分。
  
  (4) 二次函数的图象与最值问题
  
  二次函数是研究二次方程、二次不等式的重要模型,三个“二次”不论在何时在何地都是高中教学中一大重点与难点,掌握好二次函数的图像与最值对其他函数的研究有着借鉴作用。浙江高考题基本都是以二次函数作为函数载体来命制试题的,江苏高考更是冠以二次不等式为C级知识点,可见其江湖地位,你说这个知识点重要不重要?
  
  (5)含参一次不等式与二次不等式
  
  含参数的问题是整个高中数学中不可缺少的话题,是培养分类讨论的思维方式的重要载体,为何有人在高中讨论起来丢三落四呢?或许这才是薄弱之“源”。
  
  (6)三元一次方程组与二元二次方程组的解法
  
  高中解析几何部分会用到此知识。
  
  几何与数学思想方法部分
  
  (7)几何中的一些概念与定理
  
  几何部分很多概念(如重心、垂心、外心、内心等)和定理(如平行线分线段比例定理,射影定理,圆幂定理等),初中生大都没有学习,而高中学习时常要涉及。
  
  (8)对证明的认识
  
  初中降低了数学逻辑推理的要求,基本只是在平面几何部分有少量简单浅显的证明,但是到了高中很重视数学证明的逻辑性,在很多领域都有严格规范的证明出现,甚至在教材中还有专门的章节谈及证明,可见证明不是简单的“易证”就可蒙混过关的。
  
  (9)计算能力、演绎推理能力
  
  话不多说,这个大家都懂的。
  
  当然,小丁总结的还是比较片面粗略,没有专业的书籍整理具体详细。个人认为下面这本教材很适合一些同学做好“衔接”,该书精心编制,内容独树一帜,这与很多衔接教辅中以练习为主不同,该书特色是具体详细地讲述了与高中内容有关的知识点,深入浅出,值得一读。

编辑整理:武汉龙门尚学

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