高一数学《空间点、直线、平面的位置关系》知识点总结


  本节内容主要是空间点、直线、平面之间的位置关系,在认识过程中,可以进一步提高同学们的空间想象能力,发展推理能力.通过对实际模型的认识,学会将文字语言转化为图形语言和符号语言,以具体的长方体中的点、线、面之间的关系作为载体,使同学们在直观感知的基础上,认识空间中点、线、面之间的位置关系,点、线、面的位置关系是立体几何的主要研究对象,同时也是空间图形最基本的几何元素.

  重难点知识归纳

  1、平面

  (1)平面概念的理解

  直观的理解:桌面、黑板面、平静的水面等等都给人以平面的直观的印象,但它们都不是平面,而仅仅是平面的一部分.

  抽象的理解:平面是平的,平面是无限延展的,平面没有厚薄.

  (2)平面的表示法

  ①图形表示法:通常用平行四边形来表示平面,有时根据实际需要,也用其他的平面图形来表示平面.

  ②字母表示:常用等希腊字母表示平面.

  (3)涉及本部分内容的符号表示有:

  ①点A在直线l内,记作;  ②点A不在直线l内,记作;

  ③点A在平面内,记作;  ④点A不在平面内,记作;

  ⑤直线l在平面内,记作;  ⑥直线l不在平面内,记作;

  注意:符号的使用与集合中这四个符号的使用的区别与联系.

  (4)平面的基本性质

  公理1:如果一条直线的两个点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内.

  符号表示为:.

  注意:如果直线上所有的点都在一个平面内,我们也说这条直线在这个平面内,或者称平面经过这条直线.

  公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.

  符号表示为:直线AB存在唯一的平面,使得.

  注意:“有且只有”的含义是:“有”表示存在,“只有”表示唯一,不能用“只有”来代替.此公理又可表示为:不共线的三点确定一个平面.

  公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

  符号表示为:.

  注意:两个平面有一条公共直线,我们说这两个平面相交,这条公共直线就叫作两个平面的交线.若平面、平面相交于直线l,记作.

  公理的推论:

  推论1:经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.

  推论2:经过两条相交直线有且只有一个平面.

  推论3:经过两条平行直线有且只有一个平面.

  2.空间直线

  (1)空间两条直线的位置关系

  ①相交直线:有且仅有一个公共点,可表示为;

  ②平行直线:在同一个平面内,没有公共点,可表示为a//b;

  ③异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点.

  (2)平行直线

  公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.

  符号表示为:设a、b、c是三条直线,.

  定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等.

  (3)两条异面直线所成的角

  注意:①两条异面直线a,b所成的角的范围是(0°,90°].

  ②两条异面直线所成的角与点O的选择位置无关,这可由前面所讲过的“等角定理”直接得出.

  ③由两条异面直线所成的角的定义可得出异面直线所成角的一般方法:

  (i)在空间任取一点,这个点通常是线段的中点或端点.

  (ii)分别作两条异面直线的平行线,这个过程通常采用平移的方法来实现.

  (iii)指出哪一个角为两条异面直线所成的角,这时我们要注意两条异面直线所成的角的范围.

  3.空间直线与平面

  直线与平面位置关系有且只有三种:

  (1)直线在平面内:有无数个公共点;

  (2)直线与平面相交:有且只有一个公共点;

  (3)直线与平面平行:没有公共点.

  4.平面与平面

  两个平面之间的位置关系有且只有以下两种:

  (1)两个平面平行:没有公共点;

  (2)两个平面相交:有一条公共直线.


编辑整理:武汉龙门尚学

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